Instituto GeoGebra de La Plata

Reflexiones sobre el uso de GeoGebra en secundaria y en el nivel superior

carla

Carla Cabalcabué es Profesora de Matemática recibida en el Instituto Superior de Formación Docente Nº 17 (ISFDNº17) de la ciudad de La Plata. Cursó la Especialización en Enseñanza de la Matemática para la Escuela Secundaria de la Universidad Pedagógica (Unipe).

Trabaja en el CIIE de La Plata como capacitadora en el área de Matemática de Primaria y Secundaria, como formadora de docentes de los niveles Inicial, Primario y Secundario en los institutos Nº 9 y Nº 17 de nuestra ciudad (actualmente de licencia en este último). Es tutora en especializaciones virtuales “Nuestra Escuela” del INFD. Se ha desempeñado como profesora de Matemática en el Nivel Secundario, y ha participado de “El Grupo de los Lunes”[1] durante el año 2016.


Entrevistadora: Carla, contanos cómo utilizás GeoGebra en tus clases.

Carla: Bueno, de muchas maneras. Por ejemplo, en el Instituto 17 estaba en el Profesorado de Matemática, en Análisis Matemático. Los alumnos en 1º cursan Introducción al Análisis y trabajan mucho con funciones, y los primeros días, trabajamos con GeoGebra. Lo que hago es proponerles problemas en el marco geométrico y que se modelizan con funciones. Para ellos es novedoso, porque lo que tiene GG es que al ser dinámico, te permite trabajar las funciones sin estar tan concentrados en lo algebraico.

E: ¿Y cómo te resulta ese trabajo? Porque vos querés estudiar funciones, y en ese tipo de problemas las construcciones mismas pueden ser un problema.

C: Sí, sí. Te llevan un tiempo. Y a la vez que estás trabajando con construcciones, tenés que ir comunicando un montón de cuestiones que tienen que ver con el uso del programa. Y bueno, lo vamos haciendo ahí, sobre la marcha. Hay chicos que enganchan enseguida y van rapidísimo, y otros menos. Pero eso, trabajamos en grupo y voy pasando por los bancos para ir viendo lo que hacen, ir comunicando algunas cuestiones que no son tanto de la Matemática sino más del programa. Cuando veo que hay alguna cosa que es medio generalizada, paramos un cachito y explicamos cómo funcionan.

E: ¿Y qué tipo de ideas salen en ese trabajo que planteás?

C: Una cuestión que trabajamos es esta libertad de poder elegir como variable independiente distintas cosas. Cómo eso se lee en el gráfico. A veces, depende de lo que elijas como variable independiente no es una función lo que te queda, o cuando te quedan dos gráficos distintos, qué significan algunos datos en una y en otra. Interpretar en ese gráfico de la función, qué datos me está dando del problema geométrico. A veces los he separado en grupos y les propuse que cada grupo tome una variable independiente distinta; entonces después vemos cómo queda el gráfico, qué diferencias tienen, por qué son diferentes. O muchas veces, que parece una parábola pero no es una parábola, por qué.

E: ¿Y cómo se inserta tu trabajo con GG en tu planificación a más largo plazo dentro de la materia?

C: Como te decía, ese trabajo lo hacemos al principio. Y tiene que ver con que tengan al GeoGebra como una herramienta. Porque yo tampoco tengo pensadas tantas actividades que me puedan servir para lo que yo doy. Entonces lo que tienen como una herramienta más que pueden usar. Otra actividad que he realizado es por ejemplo darles un gráfico y que ellos puedan a partir de ese gráfico ir probando una fórmula que corresponde… pero ahí, ya el GeoGebra es como un método de prueba más rápido para ver si va o si no va, y conjeturar por qué no va, por qué no les está dando.

E: Está bueno porque vos acá estás distinguiendo dos tipos de actividades distintas con el programa.

C: Sí, sí. Esta es diferente. Pero también, si tuviéramos que hacer en lápiz y papel sería un plomo. ¿Cómo hacés? Ahí el GeoGebra me permite rápidamente comprobar si esa conjetura que tienen va o no va, si esa fórmula corresponde al gráfico y por qué.

Ah, y un año… pero ese lo tengo que seguir pensando… lo usé para la introducción a las integrales, para ver que el área que se te va armando es la integral de la función con la que venías trabajando.

E: Cuando vos decís “lo tengo que seguir pensando” a mí me lleva a preguntarte si vos, esos problemas los sacás de algún lado, los inventás

C: No, eso fue un invento mío. Los del marco geométrico y eso, son problemas que sí, circulan, los estudié en Unipe. Pero eso de la integral fue un dispositivo que pensé yo, y que tengo que seguir pensando para que sea realmente un problema. Para que no sea solamente: “tocá acá; hacé tal cosa; fíjate qué pasa”.

E: Vos notás que eso ahora funciona de esta manera, que lo tenés que seguir puliendo…

C: Sí. Pero me doy el permiso de ir y probar cosas sabiendo que por ahí no es lo ideal. Pero bueno, estamos ahí, construyendo.

Otra cosa que hice que funciona de manera similar a lo de la integral, de “mirá lo que pasa”: cuando trabajamos derivada, buscar una explicación geométrica de por qué la derivada de ex es ex. Porque hacemos la gráfica de ex, la tangente en un punto, la recta perpendicular al eje x que pasa por ese punto, y vamos moviéndolo y viendo que la subtangente vale uno. Y que entonces, la derivada que se forma con el triangulito siempre… digamos el delta x es uno, y la derivada coincide con el valor de la función en el punto. Si lo hicieras con lápiz y papel sería muy engorroso.

Por qué la derivada de la exponencial es la misma exponencia (1)

 Ver applet interactivo en https://www.geogebra.org/m/mw9pSESM

No deja de ser: “bueno, a ver, hagan esto, hagan esto otro, qué pasa con esto que tenemos acá abajo si movemos”. Pero tiene su potencia, sirve. Porque si eso lo tenés que hacer en lápiz y papel, ¡la cantidad de cálculos y cosas que tenés que hacer! Tenés que hacerlo con dos, tres, cuatro, cinco valores, ver que siempre vale uno, encontrarle una explicación. Sería un plomo hacerlo así. Al menos tiene esa potencia de poder mover y ver. Pero ya te digo, aunque es muy dirigido, me doy el permiso también de hacer esas cosas. Me sirve, en este sentido, como para entender geométricamente qué quiere decir que la derivada es siempre la misma. Y siempre tengo para seguir pensando.

E: A partir de esto que vos contás, se me ocurre que es como que a uno se le abren cosas que habíamos estudiado de una manera y que ahora, con las posibilidades de manipular algo dinámico, empezás a interpretar cosas que quizás antes no… Porque vos decís “hagamos esto, hagamos lo otro”, pero quizás es hasta que uno mismo también entienda lo que hay detrás de todo eso para poder armar una actividad, trabajarlo de otra manera.

C: Totalmente. Hasta ahora no me he sentado a pensarlo mucho, más allá de estas actividades, y no encontré material que trabaje sobre eso. Pero estaría buenísimo hacerlo.

Otras experiencias que tengo son con docentes de Primaria, que lo hemos usado más que nada para Geometría. Esto lo hice en el CIIE, para trabajar construcciones en GeoGebra. También ahí hay mucho terreno, parar mucho para ver cómo funciona el programa. Y lo que traté de hacer también es poner de manifiesto algunas cuestiones que tienen que ver con el programa mediante problemas. Por ejemplo, les pido una construcción de un paralelogramo imposible, y GeoGebra te lo hace; te queda muy finito, pero te lo hace. Entonces después vamos a pensarlo sin GeoGebra, si es posible esa construcción, si no es posible, por qué, y por qué lo hará el programa aunque sea imposible. Ahí trabajamos algunas limitaciones del programa, y vemos que trabaja con cierta cantidad de decimales. Las medidas del paralelogramo son tales que no te da la propiedad triangular, por ejemplo lados 4, 7 y diagonal 11. Cuando le cambiás la cantidad de decimales al programa, en lugar de 11 aparece 10.99 o cosas así. Entonces, a través del problema, estudiamos algunas limitaciones del programa.

Otras veces yo les pido que pongan el fondo cuadriculado y que copien un dibujo. Con ese arranco: yo les muestro con el cañón un dibujo, y lo tienen que copiar. Entonces ahí van aprendiendo cómo se copia, cómo se dibuja con GeoGebra. Cómo se pone el punto, cómo hago para armar un polígono, Lo copian, pero claro no hacen la figura, no la construyen con las propiedades sino a ojo, entonces cuando les pido que muevan un punto, se les desarma. Por ejemplo, si era un trapecio, cuando les pido que muevan un punto del trapecio, no les queda más trapecio. Y entonces ahí trabajamos esto de cómo construir figuras de tal forma que si yo muevo uno de los puntos, siga teniendo esas características que yo quiero que tengan.

Cuando trabajé en secundaria y fue muy gracioso porque fíjate vos cómo los chicos trasladan lo que hacen en la hoja a GeoGebra. Les pedí que construyan un trapecio isósceles. Lo hicieron y les propuse “Bueno, ahora muevan un punto”. Y me llama un chico “Profe, yo lo hice”. Me acerco y le digo “Bueno, pero si yo te muevo este punto, se desarma”. Y me dijo: “Bueno, pero el que yo había hecho era trapecio. Vos me lo moviste. Vos me pediste que te dibuje un trapecio, y era un trapecio”.

E: Algo de la generalidad que trae GeoGebra que no está en entornos más estáticos, en los cuales el que dibujé es ese.

C: Claro, y con los maestros es más fácil trabajarlo. Pero acá eran chicos de primer año de secundaria… ¿cómo hablar sobre esa generalidad? Yo quiero que si lo muevo me sigan apareciendo todos los trapecios isósceles.

E: Es algo que te introduce GeoGebra, el trabajo con la generalidad. ¿Y te acordás cómo saliste de ese “pozo”?

C: Creo que miramos cómo habían hecho otros compañeros, para que cumpliera esa característica de que lo movieran y que siga siendo trapecio.

E: Porque, en definitiva, te pone frente a una característica del programa. Son reglas que tienen que ver con lo matemático, pensándolo en esto de lo general de todos los trapecios isósceles.

C: Esto era en primer año de secundaria, y era mi primera experiencia con GeoGebra en el aula. Y no había anticipado que esto podía pasar. Propuse armar uno que al mover los puntos, siguiera conservando las propiedades del trapecio isósceles. Bueno, entonces cuáles son las propiedades del trapecio. Y trabajamos un poco eso. Porque además eso también… para que eso se logre, tengo que poner en juego un montón de propiedades del trapecio y un montón de cosas que tienen que ver con el uso de GeoGebra. Entonces es como muy difícil esto de ir diciéndoles cómo se usa GeoGebra pero sin decirles cuáles son las propiedades del trapecio que tienen que usar para construir.

Otra cosa que me pasó también cuando recién empecé… lo cuento y me da risa, pero está buenísimo para también pensar…  yo no tenía tanto conocimiento sobre cómo funcionaba, y llevé un problema que está en el Diseño de 4º, me parece, que trabaja con un triángulo rectángulo y construyen un triángulo equilátero sobre cada uno de los lados. Entonces yo pensé “Bueno, acá para la construcción ya tengo un problemón”, porque lo hacía yo y cuando construía los triángulos sobre dos de los lados, me quedaba fantástico, pero cuando construía el tercero, me lo dibujaba arriba del otro. Entonces pensaba: “Buenísimo, porque acá tengo que trazar la mediatriz, tengo que hacer esto, tengo que hacer esto otro…”. Llego al aula, en el Albert Thomas, que es técnica, y con chicos más grandes, de electrónica. Los chicos no conocían GeoGebra, así que prendieron y preguntaron “esto cómo es…”. Y les dije: “Tienen que hacer esta construcción”.  Dos segundos más tarde me dicen: “ya está profe”. Se me terminó la clase… Les pregunté “¿Cómo hicieron?”, entonces me mostraron. Y cuando me mostraban, les pasaba lo mismo que a mí, les quedaba superpuesto. Entonces me decían: “Ah, no pará que lo hice al revés”. Viste que cuando vos usás polígono regular, clickeás los puntos para un lado y te construye el triángulo equilátero orientado para un lado, pero si clickeás al revés, te lo orienta para el otro lado. Yo esa herramienta no la conocía, no me había puesto a explorarla. Ellos toquetean… “Así  me lo dibuja para acá; así me lo dibuja para allá”; y chau. Después, uno va conociendo más el programa y vas manejando el margen de imprevistos.

E: En el Instituto 17, por ejemplo, ¿qué computadoras usaban?

C: Algunos llevaban sus compus, otros usaban su celular. Pasa que el celular es medio incómodo para hacer construcciones. Pero sí para hacer este trabajo de que ingresen una fórmula y que verifiquen si es la que corresponde a un gráfico dado, si es parecido, qué le falta… Para eso, el celular sirve. O para esos problemas que movés un parámetro, con deslizadores, y vamos viendo con ese deslizador qué cosas se van moviendo y tratando de dar una explicación de por qué se mueve tal cosa o por qué se mueve tal otra. Cuando hacés esas cosas, te vas preguntando “¿Estará bueno esto? ¿No estará bueno?”. Pero, como te decía hoy, me doy esa libertad de poder darle distintos uso, que no todo el tiempo sea “el mejor problema”. Porque es una herramienta, es como tener una calculadora, la usás para distintas cosas. Por ejemplo, en primero de secundaria yo he usado la calculadora para trabajar división, y les digo “Hagan esta división con calculadora, y me tienen que encontrar el resto”. Eso es un re-problema. Y después los chicos usan la calculadora para hacer cálculos, para encontrar el resultado. Y eso no es el re-problema. GeoGebra también es una herramienta más que la tenés ahí, que los chicos la usan. Sobre todo en Nivel Superior que los chicos están habituados a llevar las compus, tablets, o que mismo en el celular lo descargaron y lo usan. Si no, es como que tenés que estar pensando todo el tiempo problemas que tengan todas estas condiciones. Me lo tomo así.

Y también una cuestión que me da vueltas, este trabajo que se hace en Análisis, del estudio completo de la función, y después el gráfico, que está bien que los chicos lo tienen que saber hacer, pero que siento que yo lo laburo como si estuviéramos en un momento de la historia en el que se hacían esos laburos, y hoy tenemos esto (GeoGebra). Te moviliza a pensar “Bueno, hay que pensar otros problemas” para Análisis Matemático porque no sé si vale tanto la pena estar haciendo todo el tiempo análisis completo de funciones como si no tuviéramos esta herramienta.

Ese trabajo, por ejemplo, al revés, de tener el gráfico y poder anticipar cuál es la fórmula, más o menos, aproximadamente, me parece que es una cosa diferente. O el laburo de decir: “Este es el gráfico de una función, cómo será el gráfico de la derivada”; o “Este es el gráfico de la derivada, cómo podría ser el de una posible función”. Son laburos distintos, que analizan distintas cuestiones; no es lo mismo que estar haciendo la derivada, la derivada segunda… Que está bueno, es algo que hay que hacerlo, ¿pero no habrá otras cosas también? Eso me pasa…

E: Te genera nuevas preguntas.

C: Claro… porque los ves a los chicos haciendo semejantes cosas, y después agarrando GeoGebra, porque lo usan ellos, no porque se los digo yo, para ver si les quedó bien… te lleva a preguntar cuál es el sentido de hacer todo esto cuando tenés una maquinita que hacés así, y aparece… Ahí el sentido es poder entender por qué cuando en la maquinita apretás ese botón, te aparece este gráfico. ¿Pero no hay otras formas de entenderlo? Esa es una. Hacemos algunos. ¿Pero no hay otras?


 

[1] “El Grupo de los lunes (el nombre alude al día de reunión) trabaja desde hace varios años pensando la enseñanza de la matemática, diseñando propuestas y analizando su funcionamiento en las propias aulas” (Fioriti & Sessa, 2015).

Deje un comentario